Une équation du second degré est un type d'équation mathématique où la plus grande puissance de x (soit le degré de l'équation) vaut 2. La fonction f s'exprime comme le produit de a (non nul) et de la somme d'un terme positif (x - α)2 et d'un terme strictement positif β/a (somme qui est donc strictement positive, donc non nulle) : f(x) = a × [(x - α)2 + β/a]. = M La méthode consiste à forcer l'apparition d'une première identité remarquable. b 2 Reproductions et traductions interdites sur tout support (voir conditions). Cela donne un ordre de grandeur de la racine la plus petite et permet éventuellement de normaliser les coefficients de l'équation si cette valeur est trop grande ou trop petite. + En mathématiques, une équation du second degré, ou équation quadratique, est une équation polynomiale de degré 2, c'est-à-dire qu'elle peut s'écrire sous la forme : {\displaystyle {\sqrt {\Delta }}} Pour les Grecs, cette autre solution n'a aucun sens, x représente le côté d'un carré, c'est-à-dire une longueur. ∈ Δ = b 2 − 4 a c = 1 Le discriminant Δ est strictement positif, l'équation 3 x 2 − 5 x + 2 = 0 admet deux solutions. Le produit des deux racines et une identité remarquable montrent que m2 – h2 = p. Une autre manière d'écrire cette égalité est h2 = m2 – p. Comme le discriminant est positif par hypothèse, le terme de droite est positif. ) β Par exemple, 2x²+3x+4=0 est une équation du deuxième degré. A EQUATIONS DU SECOND DEGRÉ DÉFINITION Onappelle racine d’un polynôme P (x)une solution del’équation P (x)=0 REMARQUE Nepas confondreles mots "racine" et "racine carrée"! Si vous avez factorisé votre équation en vous servant de votre équation du second degré elle-même et que vous avez obtenu … mais l'erreur de troncature donne des erreurs importantes par rapport à ces valeurs attendues. { 2 Résoudre dans l'ensemble de nombres complexes une équation d'inconnue z, c'est trouver les solutions complexes, c'est-à-dire les valeurs des complexes z qui rendent l'égalité correcte. Calcul du discriminant : D=b2 4ac=(2)2 4(1)( 3)=16. = Dans le cas où le discriminant est positif, les deux racines x1 et x2 s'expriment, à l'aide du discriminant réduit par les égalités : Le calcul présenté ici est exact, indépendamment du fait que a, b et c soient entiers. 1. On peut ensuite factoriser de manière intelligente le calcul du discriminant. On sait que Δ = b² - 4ac avec ici a = 1 ; b = 2 ; c = -3 B B D'autres solutions géométriques sont proposées dans les articles Inconnue et Nombre d'or. A + On en déduit une nouvelle écriture de l'équation, car la différence entre deux carrés est factorisable : Ce qui permet d'en déduire les deux solutions : Les deux solutions sont dites conjuguées c'est-à-dire que leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires opposées. . Tout d'abord, f est définie par une identité remarquable ; on en déduit : Il est aussi possible d'utiliser les formules de la définition, on trouve ici a = 1, b = –4 et c = 4. 2 Cette expression est nulle si, et seulement si x est égal à α. Une fois encore, on retrouve le résultat exprimé dans le deuxième paragraphe. {\displaystyle S} Avant de donner les formules, on va définir ce qu'est une équation du second degré. Dans cette vidéo, tu pourras apprendre à effectuer une démonstration de la propriété donnant les solutions d'une équation du second degré. Toutes les équations ne sont pas sous la forme générale d'une équation du second degré; il faudra éventuellement faire quelques opérations élémentaires sur les égalités pour s'y ramener. Méthode Nous allons voir ici comment résoudre une équation du 2nd degré dans $\mathbbR$. + Dans le cas d'un discriminant strictement négatif, comme pour la parabole jaune, le graphe se situe encore dans l'un des deux demi-plans précédents, mais cette fois l'extremum ne rencontre pas l'axe des abscisses. Comme la valeur a n'est pas nulle, il est déjà possible de la factoriser : La méthode utilisée est la complétion du carré comme pour la résolution du premier exemple. Si le discriminant est nul, on retrouve le même problème lorsque a est proche de zéro : Dans les deux cas, on a un problème dit « mal conditionné ». P β x Une fois la première solution connue, les relations entre coefficients et racines permettent aisément de trouver la seconde. Comme pour les équations du premier degré, les identités remarquables vont vous simplifier la résolution. Elle revient à « forcer » l'apparition d’une identité remarquable de la forme {\displaystyle \varphi } B ) sgn La méthode des racines évidentes est beaucoup plus rapide. S'inscrire. g(x) = 0. Que remarque-t-on aux points d’abscisses x = La courbe touche l’axe des abscisses. Si ax2 + bx + c est le deuxième facteur, on calcule le produit : On en déduit a = 1, c = –1 puis b = –2. Calcul du discrimant d'une équation polynômiale du second degré 2 En termes algébriques, cette considération graphique s'écrit : Le grand carré est d'aire 64, son côté est donc de longueur 8. et le produit Attention :  (a+b)² n'est pas égal en général à : a²+b² ! recommande le calcul de la valeur intermédiaire, Remarquons que comme le coefficient b est réputé grand (tout du moins devant ac), on peut encore gagner en précision en utilisant le discriminant réduit :[réf. (toujours la solution la plus petite en premier). et δ par Comme pour les équations du premier degré, les identités remarquables vont vous simplifier la résolution. Une mise en informatique « naïve » de la méthode de résolution peut mener à des résultats de précision médiocre dans certains cas. Les équations du second degré sont simples mais il faut apprendre les différentes formules. Dans le cas général, les solutions s'écrivent : Remarque : Les solutions d'une équation du second degré à coefficients complexes sont en général deux nombres complexes qui ne sont pas conjugués, contrairement au cas d'une équation du second degré à coefficients réels dont le discriminant est strictement négatif. 2 Exemple : x 2 + 6 = x 2 + 0x + 6. 2 C'est une équation de la forme ax²+bx+c=0 (avec a non nul) Pour pouvoir résoudre une telle équation, il … Il faut juste remplacer le mot "solution" par le mot "racine" (Voir définition d'une racine d'un polynôme).Exemple: Appuis sur le bouton au centre pour lancer l'animation. d'inconnues Pour terminer, nous verrons la méthode pour résoudre des inéquations du … Ce nouvel algorithme est dit numériquement stable, car aucune erreur n'est amplifiée par une des étapes du calcul. Considérons l'équation du second degré : ax² + bx + c = 0. Si l'expression de b' est simple, il peut être utile de faire usage du discriminant réduit, plutôt que du discriminant. Considérons l'exemple : Une analyse trop rapide pourrait laisser penser que les méthodes présentées ici ne sont pas adaptées pour une telle équation. a Exemple : pour x² - 1 = 0, on peut remplacer x² - 1 par (x-1)(x+1), et l'équation est devenue ainsi plus simple à résoudre ! Résoudre une équation du second degré à l'aide de racines carrées - exemples. Ensuite, selon le résultat, on va pouvoir connaître le nombre de solutions qu'il y a, et les trouver s'il y en a. Si Δ < 0 , rien de plus simple : il n'y a pas de solution. Cet algorithme peut être adapté si le coefficients de l'équation sont réels ; il est alors plus rapide et plus stable. Le comportement asymptotique des racines est. Le graphe de la fonction f est appelé une parabole, elle possède une forme analogue à celle des trois exemples présentés à droite. ) ( b DÉFINITION Onappelle discriminant dupolynôme P (x)=ax2 +bx +c le nombre: ∆=b2 −4ac THÉORÈME Première étape: calculer le discriminant Δ. Δ = b² - 4ac. En simplifiant par a, l'équation est équivalente à : Soit δ une racine carrée du discriminant (le paragraphe précédent montre qu'il existe une telle valeur et comment la déterminer). M K − Si ce calcul est fait numériquement, cela entraîne une perte de précision, surtout lorsque √Δ est très proche de |b|, c'est-à-dire quand 4ac est petit par rapport à b2. ) P Une solution trouvée à l'aide de cette méthode, c'est-à-dire consistant à choisir une valeur « au hasard » et à vérifier que son image par le polynôme est nulle est appelée racine évidente. On sait que Δ = b² - 4ac avec ici a = 1 ; b = 2 ; c = -3 B x Comme la somme des racines du polynôme du second degré est égale à 2, la deuxième racine est égale à 1 – √2. = Les équations du second degré ont été étudiées systématiquement par Al-Khwarizmi au IXe siècle, dans un ouvrage intitulé Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison qui, via le mot « restauration » (en arabe : al-jabr) a donné son nom à l'algèbre. 2 On évalue le discriminant b 2 − 4 a c b 2 − 4 a c et on vérifie s'il vaut la peine de poursuivre. − Il reste encore à résoudre l'équation : Pour une rédaction plus concise, on peut toujours prétendre que 1 + √2 est une racine évidente. Ecrire un algorithme permettant de résoudre une Equation du second degré (ax 2 + bx + c = 0) En utilisant la Structure si.. alors… Ecrire le même algorithme avec des selon-que Ecrire un algorithme permettant de résoudre une équation du second degré en utilisant des si.. alors… Elles sont utiles quand l'équation est sous une forme particulière. 2 Exemple :calculons le discriminant Δ de l'équation x² + 2x - 3 = 0. On en déduit que le discriminant Δ est nul et que le coefficient α est égal à 2, ce qui donne à nouveau le résultat précédent. Équation du second degré; Factorisation d'un polynôme du second degré; Exercice : Algorithme de résolution d'une équation du second degré Pour pouvoir appliquer les techniques développées ici, il est utile d'exprimer l'équation sous la forme étudiée jusqu'à présent. A R . On obtient h, puis les valeurs des racines : En remplaçant s et p par leurs valeurs, calculées à l'aide des relations entre les coefficients et les racines, on retrouve les formules classiques.

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